Republica Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educacion Universitaria.
Fundacion Mision Sucre.
Aldea Universitaria U.E.N.:”Dr. Jesús María Portillo”.
Fines de Semana.
Municipio Baralt ,Edo. Zulia.
Unidad Curricular:Matematicas II.
Trayecto II-I
MATRICES.
Profesor:ING.Jesús Rivero
Triunfador: Br. Julio Hernández Bravo.
Mene Grande:Miercoles,12 de julio de 2023
ÍNDICE
1).Introducción
2).Definición
3).Tipos de Matrices
4).Operaciones
5).Diferencia entre matrices y determinantes
6).Conclusión
7).Bibliografía
INTRODUCCIÓN
Las matrices en general es un conjunto de números naturales ordenados en formas de filas y columnas, el orden “mxn”, a un conjunto rectangular de los elementos que están dentro de ellas. Las matrices se utilizan con gran utilidad para resolver cálculos matemáticos en resolución a sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. También se utilizan para el estudio de ecuaciones lineales, apareciendo en sí de forma natural en la geometría, economía, informática, estadística física, etc.
Las matrices están compuestas por 2 tipos, según su forma y según sus elementos que se encuentran en ellas, estos tipos nos ayudan a saber cómo está formada la matriz para poder aplicar la operación correcta deseada, y saber si esta puede o no llegar a una solución de alguna operación esperada.
Las operaciones en las matrices al igual que en los números naturales son muy parecidas, estas pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, pero en cambio tiene propiedades de inversas, traspuestas. Etc.
Las matrices se encuentran en todos lados y estas son aplicables en prácticamente muchos tipos de sistemas de ecuaciones, para la resolución de problemas y conflictos, hasta los lenguajes de programación son más realmente utilizados para guardar variables, crear variables, etc.
1).Definicion
En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B..) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b...), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.
Se llama también matriz de Orden “m x n” a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz y también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.
2)Tipos de Matrices
Se describirán los tipos de matrices más utilizados y vistos, que aparecen debido a su frecuencia por su gran utilidad.
SEGÚN LA FORMA:
Matriz Columna:
Es una matriz que solo tiene una columna.
Matriz Fila:
Es una matriz que solo tiene una Fila.
Ejemplo:
Matriz Traspuesta.
Dada una matriz A, su matriz se representa por At, la cual se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At y así sucesivamente. De la definición se deduce que, si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.
Entonces:
Matriz Simétrica.
Una matriz cuadrada A es simétrica si A=At, es decir aj = aj.
Matriz Anti-simétrica.
Una matriz cuadrada se dice que es anti simétrica si A = –At, es decir aij= -aji.
SEGÚN LOS ELEMENTOS:
Matriz Nula:
Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
Matriz Diagonal:
Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
EJEMPLO:
Matriz Escalar:
Es una matriz diagonal (y, en consecuencia, una matriz cuadrada) con todos los elementos de la diagonal iguales.
EJEMPLO:
Matriz Unidad o Identidad:
Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Se denota por el símbolo I o In.
EJEMPLO:
Matriz Triangular:
Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos.
Triangular Superior:
Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aj =0, i < j.
Triangular Inferior:
Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aj = 0, j < i.
EJEMPLOS:
4).OPERACIONES CON MATRICES.
Existe una gran variedad de operaciones aplicadas a matrices, entre las más utilizadas y de gran utilidad son:
4.1 TRANSPOSICIÓN.
Dada una matriz de orden mxn, A = [ aij ], se llama matriz traspuesta de A y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A Ejemplo:
4.1.1 Propiedades de la transposición.
1) Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.
2) (At) t = A.
4.2 SUMA Y DIFERENCIA.
La suma de dos matrices A = [ aij ], B = [ bij ] de la misma dimensión, es otra matriz S = [ sij ] de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij = aij + bij. or tanto, para poder sumar dos matrices estas deben tener la misma dimensión. La suma de matrices A y B se denota por A+B.
4.2.1 Propiedades de la suma de matrices,
1. A+(B+C) = (A+B) +C (propiedad asociativa).
2. A+B = B+A (propiedad conmutativa).
3. A+0 = A (0 es una matriz nula).
4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A +(-A) =0.
La diferencia de matrices A y B se representa y define como: A-B.
4.3 PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR.
El producto de una matriz A = [ aij] por un número real k es otra matriz, B = [ bij ] de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = kaij.
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.
4.3.1 Propiedades del Producto escalar.
1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª).
2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª).
3. k (h A) = (k h) A (propiedad asociativa mixta).
4. 1·A = A (elemento unidad).
4.3.2 Propiedades Simplificativas del producto escalar.
1. A + C = B + C ⇒ A = B.
2. k A = k B ⇒ A = B si k es distinto de 0.
3. k A = h A ⇒ h = k si A es distinto de 0.
4.4 PRODUCTO DE MATRICES.
Se requiere que el número de columnas de A debe coincidir con de B el número de filas de para que esta multiplicación sea posible. Así, si A tiene dimensión mxn y B, dimensión nxp la matriz P será de orden: mxp.
El elemento de la fila 1 y columna 1 de AB (es decir, ) proviene de la sumatoria del producto de un elemento de la fila 1 de A por otro elemento de la columna 1 de B, de la multiplicación y asi sucesivamente hasta obtener.
Y así sucesivamente hasta obtener todas las ecuaciones. Hasta obtener el resultado final.
4.4.1 Propiedades del producto de matriz.
1. A·(B·C) = (A·B)·C.
2. El producto de matrices en general no es conmutativo (AB no es necesariamente es igual a BA).
3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.
4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1.
5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C.
4.4.2 Consecuencias de las propiedades.
1. Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0.
2. Si A·B=A·C no implica que B = C.
3. En general (A+B)2=A2 + B2 +2AB, ya que A·B ≠ B·A.
4. En general (A+B)·(A–B) = A2–B2, ya que A·B ≠ B·A.
4.5 INVISIBILIDAD.
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.
4.5.1 Propiedades de la Inversión de una Matriz.
1. La matriz inversa, si existe, es única.
2. A-1A=A·A-1=I.
3. (A·B) -1=B-1A-1.
4. (A-1)-1=A.
5. (kA)-1=(1/k·A)-1.
6. (At )–1=(A-1)t.
5).DIFERENCIA ENTRE MATRICES Y DETERMINANTES.
Matriz: Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales.
Determinante: Un determinante es un número real o escalar asociado a una matriz y su cálculo depende del orden de la matriz cuadrada en análisis.
A toda matriz cuadrada se le puede hallar el determinante, este es un numero. A una matriz se le puede calcular el Determinante. El determinante es una operación a aplicar (comúnmente) a una matriz. y hay varias formas de calcularla dependiendo el orden de la matriz: 3x3, 4x4, etc. teniendo en cuenta que esa matriz debe ser cuadrada. el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.
CONCLUSION
Entre las principales clases de matrices están: Fila, columna, rectangular, traspuesta, opuesta, nula, cuadrada, diagonal, escalar, simétrica, identidad, triangular, etc. Mediante el uso de las matrices se resuelven sistemas de ecuaciones lineales, además se resalta la importancia que tienen en la resolución de problemas de la vida cotidiana con lo cual se llega a dar una solución exacta y mejores resultados en un determinado proceso.
Las matrices en la vida cotidiana son aplicables desde un sistema de ecuaciones de ganancias hasta grandes sistemas de ecuaciones. Con ayuda de la determinante para la solución de dichos problemas, el aprendizaje de las operaciones y saber a identificar con qué tipo de matriz trabajamos es muy importante, ya que ambas van asociadas a los procesos de resoluciones de problemas planteados.
BIBLIOGRAFIA
Matrices (27 de julio de 2017). En línea Web. Fundación Wikimedia, Inc., Disponibilidad en: es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)
Conceptos de matriz (11 de nov. de 2009). En línea Web. Slideshare. Jose Willians Flores. Disponibilidad en: https://es.slideshare.net/ronaldiwily/con
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